Упрощение выражений (Simplify)
Символьная операция Simplify
(Упростить) — одна из самых важных. Эта операция позволяет упрощать математические выражения, содержащие алгебраические и тригонометрические функции, а также выражения со степенными многочленами (полиномами).
Упрощение означает замену более сложных фрагментов выражений на более простые. Приоритет тут отдается простоте функций. К примеру, функция tan (x)
считается более сложной, чем функции sin (x) и cos (. x).
Поэтому tan (x)
упрощается так, что получает представление через соотношение этих функций, что несколько неожиданно, так как в некоторых пакетах символьной математики, например Derive, ситуация иная: они заменяют отношение sin (x)/cos (x)
функцией tan (x).
Эта команда открывает широкие возможности для упрощения сложных и плохо упорядоченных алгебраических выражений. На рис. 8. 3 даны примеры применения операции
Simplify.
Рис. 8. 3 Действие операции Simplify
Два последних примера на приведенном рисунке показывают, как с помощью операции Simplify можно выполнять символьные вычисления производных и определенных интегралов. Результатом вычислений могут быть специальные математические функции (см. последний пример, в котором символьное значение интеграла дает результат, выраженный через интегральный синус). Вполне возможно вычисление производных высшего порядка. На рис. 8. 4 показано последовательное применение операции Simplify для вычисления производных алгебраического выражения, от первой до пятой включительно.
Система MathCAD содержит встроенную функцию для вычисления значений определенных интегралов приближенным численным методом. Ею целесообразно пользоваться, когда нужно просто получить значение определенного интеграла в виде числа. Однако команда Simplify
применительно к вычислениям определенных интегралов делает гораздо больше — она ищет аналитическое выражение для интеграла. Более того, она способна делать это и при вычислении кратных интегралов, пределы которых — функции. Наглядный пример этому дает рис. 8. 5.
На рис. 8. 6 показано применение операции Simplify для вычисления сумм и произведений символьных последовательностей. Результат операции, как и следовало ожидать, получается в символьной форме (если она существует).
Приведенные примеры могут создать впечатление, что MathCAD лихо справляется со всеми производными, интегралами, суммами и произведения-
Рис. 8. 4 Вычисление производных алгебраического выражения с порядком от 1 до 5
Рис. 8. 5 Вычисление двойных и тройных определенных интегралов
ми с помощью операции
Simplify. К сожалению, это далеко не так. Нередко система не справляется с кажущимися простыми справочными примерами. Надо помнить, что символьный процессор системы MathCAD обладает заметно урезанной библиотекой функций и преобразований (в сравнении с библиотекой системы Maple V). Поэтому часто система не находит решение в замкнутом виде, хотя оно и приводится в справочнике. Тогда система повторяет введенное выражение или сообщает об ошибке.
Следует также отметить, что при выполнении командами меню Symbol символьных вычислений выражения необходимо указывать явно. Например, недопустимо вводить некоторую функцию пользователя F (x) и пытаться найти ее производные или интеграл. Это существенное ограничение, и котором надо всегда помнить. Однако оно преодолимо при выполнении вычислений с помощью функций системы SmartMath, которая описывается в дальнейшем;
Рис. 8. 6 Вычисление сумм и произведений символьных последовательностей
главное в том, что для вывода символьных вычислений в этом случае используется оператор —>.
В результате преобразований могут появляться специальные функции — как встроенные в систему (функции Бесселя, гамма-функция, интеграл вероятности и др.), так и ряд функций, дополнительно определенных при загрузке символьного процессора (интегральные синус и косинус, интегралы Френеля, эллиптические интегралы и др.) Последние нельзя использовать при создании математических выражений.
