Двухточечные краевые задачи
10.2.2. Двухточечные краевые задачи
Решение краевых задач для систем ОДУ методом стрельбы в Mathcad достигается применением двух встроенных функций. Первая предназначена для двухточечных задач с краевыми условиями, заданными на концах интервала:
- sbval(z,x0,x1, D, load, score) — поиск вектора недостающих L начальных условий для двухточечной краевой задачи для системы N ОДУ:
- z — вектор размера Lx1, присваивающий недостающим начальным условиям (на левой границе интервала) начальные значения;
- х0 — левая граница расчетного интервала;
- xi — правая граница расчетного интервала;
- load(x0,z) — векторная функция размера Nx1 левых граничных условий, причем недостающие начальные условия поименовываются соответствующими компонентами векторного аргумента z;
- score (x1, у) — векторная функция размера Lx1, выражающая L правых граничных условий для векторной функции у в точке x1;
- D(x,y) — векторная функция, описывающая систему N ОДУ, размера Nx1 и двух аргументов — скалярного х и векторного у. При этом у — это неизвестная векторная функция аргумента х того же размера Nx1.
ВНИМАНИЕ!
Решение краевых задач в Mathcad, в отличие от большинства остальных операций, реализовано не совсем очевидным образом. В частности, помните, что число элементов векторов о и load равно количеству уравнений N, а векторов z, score и результата действия функции sbval— количеству правых граничных условий L. Соответственно, левых граничных условий в задаче должно быть (N-L) .
Как видно, функция sbval предназначена не для поиска собственно решения, т. е. неизвестных функций yi(x), а для определения недостающих начальных условий в первой точке интервала, т. е. yi(x0). Чтобы вычислить yi(х) на всем интервале, требуется дополнительно решить задачу Коши. Разберем особенности использования функции sbval на конкретном примере (листинг 10.2), описанном выше (см. разд. 10.1.1). Краевая задача состоит из системы двух уравнений (N=2), одного левого (L=1) и одного правого (N-L=2-1=1) граничного условия.
